ישיבת כרם ביבנה

הגמרא במבחן הגיאומטריה

עדו קליין


שאלה ישנה:
לפני שלוש שנים למדנו בישיבה בבא בתרא. כשהגעתי לסוגיה העוסקת בס"ת שהונח בארון הברית, הטרידה אותי הקושיה הבאה:
הגמ' (ב"ב יד) עוסקת בחפצים שארון הברית הכיל. לוחות הברית תפסו את רוב השטח בתוך הארון, ולשיטת ר"מ נשאר בארון חריץ ברוחב שני טפחים שבו הכניסו את ספר התורה. הגמ' אומרת, שס"ת זה היה מיוחד בכך שנגלל לתחילתו (כלומר שכל הקלף נגלל על עץ חיים אחד, כמו מגילה) והיקפו של הספר היה 6 טפחים. הגמ' משתמשת בכלל "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", שמשמעותו היא שהיקף מעגל גדול פי שלושה מהרוחב (=הקוטר) שלו, ומסיקה שהקוטר של הס"ת הוא 2 טפחים. עתה שואלת הגמ' איך ניתן להכניס בשני הטפחים הפנויים בארון חפץ שרוחבו הוא בדיוק שני טפחים (הרי הספר צריך להיות צר במעט מהחלל הפנוי כדי שיוכל להיכנס לתוכו)?
וכאן אני שואל: הרי הכלל "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח" אינו מדויק! האמת ההנדסית היא שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא המספר π (פאי) שערכו גדול במעט מ-3 (בערך 3.14). לפ"ז יוצא, שאם היקף הס"ת הוא 6 טפחים, קוטרו קטן במעט מ-2 טפחים והוא יכול להיכנס לארון, וא"כ שאלת הגמ' אינה מובנת?[1]
מקור הכלל:
הבה נחזור למקור הדברים.
המשנה בעירובין (יג ע"ב) עוסקת בקורה המכשירה את המבוי לטלטל בתוכו. הרוחב של קורה זו צריך להיות טפח. הקורה יכולה להיות בצורת גליל וכדי לבדוק אם יש בה רוחב טפח מציגה המשנה את הכלל הנ"ל. הגמ' (יד ע"א) מבררת את המקור לכלל "מנא הני מילי? - אמר רבי יוחנן, אמר קרא: "וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ וְקָו ("וקוה" כתיב) שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב" (מל"א ז, כג)". [ה"ים" (כלי קיבול גדול) שעשה שלמה לבית המקדש היה עגול, היקפו 30 אמה וקוטרו 10 אמה].
בפירושו על המשנה מסביר הרמב"ם מדוע המשנה לא נוקטת בערך המדויק: "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו... אי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע[2]... והקירוב שמשתמשים בו אנשי המדע הוא יחס אחד לשלשה ושביעית... וכיון שזה לא יושג לגמרי אלא בקירוב, תפשו הם בחשבון גדול ואמרו כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח, והסתפקו בזה בכל המדידות שהוצרכו להן בכל התורה."
התוס' בעירובין (יד ע"א, ד"ה והאיכא) הקשו, שממהלך הגמרא בעירובין ומהסוגיה בב"ב (על מיקומו של ספר התורה בארון) משמע שהחשבון מדויק, "וקשיא, דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות" (שמחתי שזכיתי לכוון לקושיית התוס'). התוס' נשארו בקושיה.
כללים גיאומטריים נוספים:
ישנם כללים הנדסיים לא מדויקים נוספים, בהם משתמשים חז"ל[3]:



  • הכלל "מרובע יתר על העיגול רביע" אומר, שהיחס בין שטח ריבוע לשטח העיגול החסום בתוכו הוא יחס של 4 ל-3 (כך שאם נחסיר רבע משטח הריבוע נקבל את שטח העיגול). היחס האמיתי הוא יחס של 4 ל- π.[4]


  • הכלל "כל אמתא בריבוע – אמתא ותרי חומשי באלכסונא" פירושו, שאורך האלכסון בריבוע גדול פי 1.4 מאורך צלע הריבוע (ריבוע שצלעו אמה – אלכסונו אמה ושתי חמישיות). היחס האמתי הוא השורש הריבועי של 2 שגדול מעט מ-1.4, ().[5]



הכללים הנ"ל נמצאים בשימוש חכמינו במגוון נושאים: סוכה עגולה מינימלית (סוכה ח'), עירובי תחומין (מס' מקומות במסכת עירובין), ריבוע התפילין[6] (מנחות לה ע"א ברש"י ד"ה ואלכסונן), טומאה וטהרה (אהלות יב, ו-ז) ועוד.
קושיות:
אמנם דברי הרמב"ם שהשיעור המדויק אינו בר-השגה נכון לגבי כל הכללים הנ"ל, אך עדיין לימוד הסוגיות יכול לעורר כמה תמיהות:



  1. מדוע לא דייקו קצת יותר במקום שהדבר אפשרי?


  2. בחלק מהסוגיות (כמו בקורת מבוי) חוסר הדיוק יוצר קולא ויש לשאול "אימור דאמרינן לא דק לחומרא, לקולא מי אמרינן לא דק?"


  3. איך ניתן להסביר את הפס' על 'ים של שלמה', שמלמדנו דבר שלא יתכן? (הרי אם קוטר הים 10 אמות, היקפו צריך להיות גדול מ-31 אמות).[7]



עוד יש לשאול מבחינה מעשית, כיצד לפסוק הלכה? ע"פ הערך המקורב או ע"פ הערך המדויק?
תירוצים:
ישנם כמה תירוצים שמיישבים חלק מהקושיות בחלק מהסוגיות.[8]
אנחנו נביא תירוצים כלליים יותר:
על הסוגיה בעירובין לגבי הים של שלמה כותב תוס' רא"ש: "כל שיש בהקיפו שלשה יש בו רוחב טפח מנא הני מילי. תמיה לי מה שייך למיבעי הכא מנא הני מילי בדבר הנראה לעינים ואדם יכול לעמוד עליו? יביאו דבר שהוא רחב טפח ונמדוד ההיקף! ונ"ל לפרש לפי שאין הדבר מכוון, שההיקף הוא יותר מג' טפחים, קא בעי תלמודא מה"מ, מנין לקחו חכמים ליתן גבול ומדה לדבר אחד אף על פי שאינו מכוון אלא שהדבר קרוב להיות מכוון, ומייתי ראיה דקרא נמי קא עביד הכי..."
הדברים מיישבים באופן נפלא את שלוש התמיהות שלנו לגבי הדיוק בחישוב מעגל (אף שתוס' רא"ש בא לענות על שאלה אחרת לגמרי...). יש לומר שהגמ' לא הביאה את הפסוק כדי ללמד ערך גיאומטרי שאותו ניתן למדוד בקלות, אלא כדי ללמד שאין צורך לדייק יותר מכך ואפשר להסתפק בקירוב הזה (שהיחס הוא 1 ל-3) לצורך חישוב המעגל. וניכרים דברי אמת.
בשו"ת התשב"ץ (ח"א סי' קסה) עונה לאחד ששאל על הנושא, שניתן לומר אחד משני דברים[9]:



  1. "קבלתן כך היתה ללכת ע"פ דרכים אלו, ואף על פי שיש בהם קירוב, דהא שיעורין הלכה למשה מסיני הם כדאיתא בערובין (ד ע"א)... ואפשר לומר שכך נאמרה הלכה למשה מסיני... והטעם בזה לפי שלא ניתנה התורה למלאכי השרת... ושמא כך נמסרה להם הלכה שיתנהגו על עיקרים אלו אף על פי שיש בהם קירוב כאלו הם מדוקדקים ויש סמך בזה מים שעשה שלמה שהלך בו הכתוב על דרך קירוב..."


  2. "הם כשנשאו ונתנו בזה על עיקרים אלו עשו זה לקרב ההבנה אל התלמידים לפי שלעולם ישנ' אדם לתלמידו בדרך קצרה כדאיתא בפ"ק דפסחים (ג ע"ב)... אבל לענין מעשה יש לנו לדקדק הענין ע"פ הדקדוק האמתי ומסרוהו לחכמים יודעי השיעורי'. נמצא כי ההלכה מסורה לתלמידים המתחילים והמעשה מסור אל החכמים לדקדקו על פי האמת, וזה הדרך ישר בעיני לתקון דבריהם ז"ל... ואף על פי שהקשו בסוכה... "אימר דאמרי' לא דק לחומרא, לקולא לא אמרינן" זה הוא כשהוא הרב' אבל דבר מועט לא יחושו בו שלא לבלבל התלמידים... וי"ל עוד כי מצאו סיוע לזה בים שעשה שלמה..."



כמובן, בין שתי התשובות יש נפק"מ למעשה.
הלכה:
מה נפסק?
המשנ"ב כתב (שעה"צ שעב, יח, לגבי האופן שבו מעגלים חלון ד' טפחים על ד' טפחים שצריך להיות בין שתי חצירות כדי לאפשר עירוב (עיי"ש), שבמקרה זה יוצאת קולא מכך שמשתמשים בשיעורי חז"ל ולא במידות המדויקות): "...אלא האמת נראה לעניות דעתי דאין לדקדק בזה יותר, דסמכו חכמים על אלו השיעורים על הענינים שבתורה מפני שקשה לצמצם העודף, ואולי היה מקבל להם מסיני שיש לסמוך על השיעורים האלו אף בשיעורי תורה, ואיך שיהיה, במלתא דרבנן בודאי יש לסמוך על השיעורים אלו, וכמעט כן משמע מהרמב"ם..."[10].
רמז בפסוק:
מעניין לציין, שבאותו פסוק (על ים של שלמה) ממנו דרשה הגמרא שהיחס בין היקף המעגל לקוטר הוא 3, יש רמז לשיעור המדויק, π.[11]
בפסוק יש קרי וכתיב: כתוב "קוה" וקוראים "קו". היחס בין הגימטריה של "קוה" (הכתיב) לגימטריה של "קו" (הקרי) קרוב מאוד ליחס בין π (הערך האמיתי, הנסתר) ל-3 (הערך הגלוי).[12]
תירוץ השאלה על הס"ת וקצת ענייני מחשבה:
נשאר לנו לתרץ את השאלה שפתחנו בה: מדוע מסיקה הגמרא שאי אפשר להכניס את הס"ת כשכולו גלול (מסופו לתחילתו) לתוך 2 הטפחים הפנויים בארון הברית? הרי אם היקפו 6 טפחים, ברור שרוחבו פחות מ-2 טפחים!
אני רוצה להביא בפניכם תירוץ חדשני שקראתי, שיבאר גם ענין מחשבתי הנלמד מכאן[13]:
יתכן שאין זה מקרה שהערך שבו חז"ל משתמשים נלמד מכלי שהיה בביהמ"ק (ה"ים"). יש בדבר סוד. מצינו (אבות ה, ה) שנעשה נס בחלל העזרה "עומדים צפופים ומשתחוים רווּחים". בתחום ביהמ"ק התרחשו ניסים כך שהמידות הנמדדות במרחב שלו שונות באופן על-טבעי מהמוכר לנו. על-פי-זה נוכל לומר שבביהמ"ק היחס בין היקף המעגל לקוטרו היה בדיוק 3, באופן שלא נתפס אצלנו כלל! (זה מיישב את השאלה על הס"ת בארון העדות). ומשום שעניין התורה הוא לאחד עולמות עליונים עם העולם התחתון, ניתן לומר שהמידות שהיו בביהמ"ק הן המידות שנמסרו לנו לקבוע הלכה על פיהן.
אוסיף, שבארון הברית עצמו נעשה נס: "מקום ארון אינו מן המדה" (מגילה י ע"ב) – הארון לא תפס מקום בקודש הקודשים! שמעתי, שמידות הארון מלמדות שיעור בעבודת המידות: לכאורה קשה, מדוע הגמרא מתאמצת לחשב מה מילא בארון את השטח ומה היה בכל טפח וטפח? הרי הארון לא תפס כלל מקום בחלל קודש הקודשים, וא"כ ק"ו שהלוחות וספר התורה שקדושתם מרובה יותר, אינם אמורים לתפוס מקום בארון!
בעלי המוסר לומדים מכאן: דווקא העובדה שהארון היה מלא כל-כולו בתורה גרמה לכך שהארון לא נצרך לתפוס מקום. וכן עינינו רואות שאדם המלא בתורה לא נזקק "לתפוס מקום". מי שה"רוח" ממלאת אותו, ה"חומר" אינו משמעותי עבורו...
יהי רצון שנתמלא בתורה, נשתלם בעבודת המידות ונזכה להתרומם למדרגה אלוקית שמעל הטבע...


(פורסם באשכולות 315 - פרשת חיי שרה תשע"ה)



 





[1] ההפרש בין רוחב הס"ת לפי הגמ' לבין השיעור האמיתי הוא פחות מסנטימטר (אפילו לפי שיעור חזו"א...), אבל עדיין שאלת הגמרא קשה.
[2] כאן קבע הרמב"ם ש-π הוא מספר אי-רציונאלי (כלומר לא ניתן להגדירו כמנה של שני מספרים שלמים). בתקופת הרמב"ם היו דעות שונות בעניין זה, והמתמטיקאים הוכיחו זאת רק מאות שנים לאחר מכן!
[3] (גם מי שלא מבין את הכללים הבאים יוכל לקרוא את המשך המאמר...)
[4] הכלל נזכר במשנה (אהלות, יב, ו) לגבי היחס בין היקף ריבוע להיקף המעגל החסום בתוכו, והוא מתבסס על ההנחה הקודמת, שהיקף המעגל גדול פי 3 מקוטרו (שכאמור אינה מדויקת). הגמרא משתמשת בכלל הזה גם לגבי היחס בין שטח ריבוע לשטח העיגול החסום בתוכו. אמנם בד"כ לא ניתן ללמוד על היחס בין שטחי צורות עפ"י היחס בין היקפיהן, אך במקרה זה הדבר אפשרי כפי שמוכיח התוס' בסוכה (ח' ע"א ד"ה כמה). לכן חוסר הדיוק בכלל "מרובע יתר על עיגול רביע" נגרר מחוסר הדיוק בכלל "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח".
לחובבי גיאומטריה אני ממליץ לעיין בתוס' בסוכה הנ"ל, שעיון בדבריו מוכיח שהיחס בין היקף מעגל לקוטרו שווה ליחס בין שטח העיגול לריבוע הרדיוס (3 לפי הגמ' או π לפי הגיאומטריה). ההוכחה מעניינת במיוחד וכנראה שונה מדרכי ההוכחה שאתם מכירים בגיאומטריה, כי אע"פ שהתוס' מסביר את הדברים מאוד בפשטות מבחינת הבסיס המתמטי הנדרש, ההוכחה בצורתה ה"פורמלית" נזקקת לשימוש בחשבון אינטגרלי.
[5] ההוכחה הגיאומטרית שהחשבון לא מדוקדק נמצאת בתוס' (סוכה ח ע"א, ד"ה כל) ועפ"י דבריהם ניתן להבין מדוע השיעור המדויק צריך להיות 2√.
[6] (ראה מאמר בנושא ב"תחומין" ט' עמ' 405)
[7] למי שישאל: האם יתכן שחז"ל טעו בכך? נשיב (ראה שו"ת התשב"ץ א, קסה): א. איך יתכן לומר שחכמינו טעו בדבר פשוט שהיוונים ידעוהו כבר הרבה קודם וכל ילד יכול למדוד בקלות, הרי חז"ל ידעו הרבה ידיעות מופלאות יותר מחכמי אומות העולם כפי שכתב הכוזרי ב, סד ובסוף מאמר ד (ויש ספרים שלמים בנושא), ב. עיין בפירושי תוס' וריטב"א לסוכה ח, על דברי רבנן דקיסרי, שחכמינו ידעו אפילו ששטח ריבוע החסום במעגל הוא מחצית שטח הריבוע החוסם את המעגל, והרי מההוכחה לכך נקל להסיק שהיחס בין אלכסון הריבוע לצלעו אינה 1.4, עיי"ש, ג. קראתי (במאמר של הרב ד"ר ש. בולג ב"תורה ומדע" י) שלפני כ-130 שנה נמצאה ה"ברייתא דמ"ט מידות" (שהוזכרה מספר פעמים ע"י הראשונים), וכבר שם מופיע עבור π הקירוב של שלוש ושביעית.
[8] לגבי הכלל "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח" יש שהציעו שלא מדובר בעיגול מדויק אלא במשושה משוכלל, שהיקפו הוא אכן בדיוק פי 3 מרוחבו (האלכסון הגדול) ("ארץ חיים" בשם אביו בתחילת ספרו), יש מי שהסביר בכמה סוגיות (למשל לגבי קורה) שלא מדובר על גליל מדויק שעוביו שווה לכל אורכו אלא שהעובי שלו משתנה מעט (כמו חרוט קטום למשל) ואז יתכן שבמקום הרחב רוחבו 1 ובמקום הצר היקפו 3 (תחומין יט עמ' 456, מאמר על π החז"לי).
[9] דברי התשב"ץ יותר כלליים מדברי תוס' רא"ש, ומתייחסים גם לאלכסון הריבוע.
[10] ראה גם משנ"ב תרלד, ד ושעה"צ שם. וראה גם ערוך השולחן או"ח לב, עה ושם שסג, כב. וראה גם חזו"א או"ח קלח ד.
[11] יש המיחסים את הרמז להגר"א.
[12] כלומר, אם ניקח 3, נכפיל ב-111 (קוה) ונחלק ב-106 (קו) נגיע לקירוב של π עד 4 ספרות אחרי הנקודה העשרונית!
[13] התירוץ ע"פ מאמר של הרב מתתיהו מונק ב"סיני – ירחון לתורה", כרך נא.
לקושיה יש גם תירוצים על דרך הפשט: החת"ס בב"ב כותב בשם "בני יונה" שהעמוד שעליו נגלל הס"ת משלים לשיעור. צבי שפלטר (תחומין יט) מתרץ שכשמניחים את הס"ת, צורתו אינה עגולה לגמרי אלא אליפסית ולכן הוא קצת רחב יותר.




 

 

 

השיעור ניתן בכ"ב חשון תשע"ה

קוד השיעור: 5826

סרוק כדי להעלות את השיעור באתר:

לשליחת שאלה או הארה בנוגע לשיעור: